نظريه 4 تطبيقات على العمود النازل من مركز الدائره الوحده الرابعه ثالث متوسط م

 

فيديو 1

فيديو2

1️⃣ تعريف العمود النازل من مركز الدائرة على الوتر

العمود النازل من مركز الدائرة على الوتر هو:

المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف الوتر، ويكون عموديًا على الوتر.

رموز هامة:

• لنفترض الدائرة مركزها م، وأ ب وتر في الدائرة.

• العمود النازل من المركز: م هـ حيث هـ منتصف الوتر أ ب.

• إذن: م هـ ⟂ أ ب و هـ منتصف أ ب.

---

2️⃣ خصائص العمود النازل من مركز الدائرة

1. ينصف الوتر: إذا نزل العمود من المركز على الوتر، يقسم الوتر إلى نصفين متساويين.

   • أي: أ هـ = هـ ب

2. العمود يكون دائماً عمودي على الوتر:

   • أي: م هـ ⟂ أ ب

3. إذا كان الوتر هو قطر الدائرة، فالعمود النازل من المركز يقع على الوتر نفسه (الوتر = القطر).

---

3️⃣ تطبيقات على العمود النازل من مركز الدائرة

مثال 1: إيجاد طول جزء من الوتر

• دائرة مركزها م، وأ ب وتر بطول 10 سم.

• إذا نزل العمود من المركز م على أ ب وبلغ طوله 6 سم، احسب طول نصف الوتر.

الحل:

• نطبق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم م أ هـ:

$$م أ^2 = م هـ^2 + أ هـ^2$$

• نصف الوتر = أ هـ

$$أ هـ = \sqrt{م أ^2 - م هـ^2} = \sqrt{r^2 - 6^2}$$

• إذا كان نصف القطر م أ معروف، نوجد أ هـ بسهولة.

---

مثال 2: إثبات أن العمود ينصف الوتر

• دائرة مركزها م، أ ب وتر. نزل العمود م هـ من المركز على الوتر.

• نريد إثبات أن م هـ ينصف أ ب.

الحل:

• نقسم المثلث م أ ب إلى مثلثين متطابقين: م أ هـ و م ب هـ

• في المثلثين:

  • م أ = م ب (نصف القطر)

  • م هـ = م هـ (مشترك)

  • الزاوية م هـ أ = م هـ ب = 90°

• إذن المثلثان متطابقان ⇒ أ هـ = هـ ب

---

مثال 3: إيجاد طول العمود النازل

• دائرة مركزها م، وتر أ ب طوله 8 سم، نصف القطر م أ = 5 سم.

• احسب طول العمود النازل م هـ.

الحل:

$$م هـ = \sqrt{م أ^2 - أ هـ^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ سم}$$

---

4️⃣ الخلاصة

• العمود النازل من مركز الدائرة على الوتر يقسم الوتر نصفين ويكون عموديًا عليه.

• يمكن استخدامه لحساب أطوال الأوتار أو إيجاد أطوال المثلثات في الدائرة باستخدام فيثاغورس.

• دائمًا نرسم المثلث القائم بين المركز ونصف الوتر.