تمثيل التطبيق بيانيا الدرس السابع الوحدة الاولي الصف الثالث متوسط

 

فيديو1

فيديو2

فيديو3

فيديو4

مقدمة

في دراسة التطبيقات (أو الدوال)، لا يقتصر الأمر على تعريفها بالكلمات أو بالرموز، بل يمكننا تمثيلها أيضاً بطريقة بيانية على المستوى الإحداثي. هذا التمثيل يساعدنا على فهم طبيعة التطبيق، والتعرف على سلوكه بسهولة من خلال النظر إلى شكله.

---

المفهوم الأساسي

عندما نريد تمثيل تطبيق $f$ بيانياً، فإننا نرسم جميع الأزواج المرتبة $(س، f(س))$ على المستوى الإحداثي.

• المحور الأفقي $س$: يمثل العنصر من المجال.

• المحور الرأسي $ص$: يمثل القيمة المقابلة $f(س)$.

بذلك يكون المنحنى البياني هو صورة جميع نقاط التطبيق.

خطوات تمثيل التطبيق بيانياً

١. تحديد المجال:
نحدد القيم المسموح بها لـ $س$ والتي يعرف عندها التطبيق.

٢. حساب القيم المقابلة:
لكل قيمة في المجال، نحسب $f(س)$ أو نوجد صورتها.

٣. تكوين جدول القيم:
نضع القيم في جدول يضم عموداً لـ $س$ وعموداً لـ $f(س)$.

٤. تمثيل النقاط:
نمثل النقاط على المستوى الإحداثي بحيث كل نقطة إحداثيها هو $(س، f(س))$.

٥. رسم المنحنى أو الشكل:
نصل بين النقاط بخطوط أو منحنيات تبعاً لطبيعة التطبيق.

مثال توضيحي

لنفترض أن لدينا التطبيق:

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(س) = ٢س + ١$$

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية.

• نختار بعض القيم لـ $س$: ٠−٢، ٠−١، ٠، ١، ٢

• نحسب القيم:

$$f(-٢) = -٣,\quad f(-١) = -١,\quad f(٠) = ١,\quad f(١) = ٣,\quad f(٢) = ٥$$

• جدول القيم:

$س$	$ص = f(س)$
−٢	−٣
−١	−١
٠	١
١	٣
٢	٥

نرسم النقاط على المستوى، ونجد أن المنحنى هو خط مستقيم.

أهمية التمثيل البياني

١. توضيح شكل التطبيق:
نعرف إن كان خطياً أو منحنى أو غير ذلك.
٢. معرفة خصائصه:
مثل التزايد أو التناقص، أو القيم العظمى والصغرى.
٣. سهولة قراءة القيم:
يمكننا معرفة قيم تقريبية بدون حساب مباشر.
٤. مقارنة التطبيقات:
يمكن تمثيل أكثر من تطبيق على نفس الرسم للمقارنة.

أنواع الأشكال البيانية للتطبيقات

• خطوط مستقيمة: إذا كان التطبيق خطياً من الدرجة الأولى.

• منحنيات تربيعية: إذا كان من الدرجة الثانية.

• منحنيات دورية: مثل تطبيقات الجيب وجيب التمام.

• منحنيات مكسورة أو غير متصلة: عند وجود نقاط غير معرفة.

ملاحظات مهمة

• التمثيل البياني يعتمد على المجال والمجال المقابل.

• بعض التطبيقات لا يمكن رسمها بخطوط مستمرة، بل تكون نقاط متفرقة.

• يجب الانتباه لوحدات القياس والمقياس المستخدم في الرسم.

• في حالة التطبيقات العكسية، يمكن تمثيلها بعكس المحورين.

تمثيل التطبيق بيانياً هو أداة قوية في الرياضيات تساعد على تصور العلاقة بين المدخلات والمخرجات بشكل بصري. ومن خلال الرسم البياني، يمكننا دراسة خصائص التطبيق بسهولة والتنبؤ بسلوكه دون اللجوء للحسابات المعقدة.